根 (数学)

数学上，函数



f


{\displaystyle f}

的一个根（或称零点）是



f


{\displaystyle f}

的定义域



D


{\displaystyle D}

中适合



f
(
x
)
=
0


{\displaystyle f(x)=0}

的元素



x


{\displaystyle x}

。换言之，



x


{\displaystyle x}

是方程



f
(
x
)
=
0


{\displaystyle f(x)=0}

的解。
多项式的一个根是相应多项式函数的零点。代数基本定理表明，任何非零多项式的根的个数（计入重数）至多等于其次数，且在复数域（或更一般地，在代数闭扩域）中根的个数恰好等于次数。例如，二次多项式



f
(
x
)
=

x

2


−
5
x
+
6
=
(
x
−
2
)
(
x
−
3
)


{\displaystyle f(x)=x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)}

有两个根：2和3，因为



f
(
2
)
=

2

2


−
5
×
2
+
6
=
0


{\displaystyle f(2)=2^{2}-5\times 2+6=0}

且



f
(
3
)
=

3

2


−
5
×
3
+
6
=
0


{\displaystyle f(3)=3^{2}-5\times 3+6=0}

。
如果函数将实数映射到实数，则其零点为函数图像与x轴交点的x坐标；在此上下文中，点



(
x
,
0
)


{\displaystyle (x,0)}

也称为x截距。
例子：

若



f
(
x
)
=
cos
⁡





x


{\displaystyle f(x)=\cos {\mbox{ }}x}

是实数域上定义的函数，它的根是所有形如





π
2


+
k
π


{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+k\pi }

的数（



k


{\displaystyle k}

为整数）。
若



f
(
x
)
=

x

3


+

x

2


+
4
x
+
4


{\displaystyle f(x)=x^{3}+x^{2}+4x+4}

是实数域上定义的函数，它的根是



x
=
−
1


{\displaystyle x=-1}

。若



f


{\displaystyle f}

的定义域扩展至复数，则它会多了两个根



x
=
2

i

,
−
2

i



{\displaystyle x=2\mathrm {i} ,-2\mathrm {i} }

。