分形

分形（英语：fractal，源自拉丁语：frāctus，有「零碎」、「破裂」之意），又称碎形、残形，通常被定义为「一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状」，即具有自相似的性质。分形在数学中是一种抽象的物体，用于描述自然界中存在的事物。人工分形通常在放大后能展现出相似的形状。分形也被称为扩展对称或展开对称。如果在每次放大后，形状的重复是完全相同的，这被称为自相似。自相似的一个例子是门格海绵。分形在不同的缩放级别上可以是近似相似的。曼德博集合的放大图像中显示了这种模式。分形也包有图像的细节重复自身的意味。
分形与其他几何图形相似但又有所不同。当缩放一个图形时，就能看出分形和其他几何图形的区别。将一个多边形的边长加倍，它的面积变为原来的四倍。新的边长与旧边长相比增加了2倍，而面积增加了4倍，即22倍。平面内的多边形在二维空间中，指数2刚好是多边形所在的二维空间的维数。类似的，对于三维空间中的球，如果它的半径加倍，则它的体积变为原来的8倍，即23倍，指数3依旧是球所在空间的维数。如果将分形的一维长度加倍，如将康托三分集的初始线段长加倍，分形空间的内容变为2n倍，此时n不一定是个整数。幂指数n称为分形的维数，它通常大于分形的拓扑维数。
作为一个数学函数，分形通常是处处不可微的。无穷分形曲线可以理解为一条一维的曲线在空间中绕行，它的拓扑维数仍然是1，但大于1的分形维数暗示了它也有类似曲面的性质。

我们可以从这些年来正式发表的文献中追踪分形概念的发展史。从17世纪有了递归的概念开始，到19世纪，伯纳德·波尔查诺、波恩哈德·黎曼和卡尔·魏尔斯特拉斯对连续不可微函数开创性的研究，这些严谨的数学概念推动着分形的发展。20世纪时，人们创造了分形这个词，随之而来的是人们对分形和计算机建模和兴趣的迅速增长。1975年本华·曼德博首次提出“分形(fractal)”这个术语。分形的拉丁文词源frāctus有“破坏”、“破碎”的意思，曼德博将分形的概念从理论分形维数拓展到自然界中的几何图形。
一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统。分形有几种类型，可以分别依据表现出的精确自相似性、半自相似性和统计自相似性来定义。权威学者们对分形的精确定义仍有争论。曼德博自己将分形总结为：“美丽、（研究起来）极其困难但又非常的有用，这就是分形”。1982年曼德博提出了更正式的定义：“分形是一种其豪斯多夫维数严格大于拓扑维数的集合”。后来他认为这种定义过于严格，于是简化并扩展了这个定义：“分形是由与整体在某些方面相似的部分构成的图形。”。又过了一段时间，曼德博决定使用以下方式来描述分形：“...在研究和使用分形时，不需要迂腐的定义。用分形维数作为描述各种不同分形的通用术语。”
通常认为，理论分形是无限迭代、自相似的、具有分形维数的详细数学结构。人们创造了许多分形图形并进行了充分的研究。分形并不限于几何图形，它也可以描述时间序列。虽然分形是一个数学构造，它们同样可以在自然界中被找到，这使得它们被划入艺术作品的范畴。分形在医学、土力学、地震学和技术分析中都有应用。在自然、技术、艺术、建筑和法律等领域，人们对图形、结构和音频中不同程度自相似的分形图形进行了研究，并反过来利用分形理论取生成图形、结构和音频。分形和混沌理论密切相关，因为混沌过程的图形大多数都是分形。