有限元素法

有限元素法（finite element method）或有限元素法、有限元法，是一种将求解域或连续体划分为众多个有限大小的单元体的集合（离散化）为若干个有限大小的单元体的集合，以解答求解域或连续体问题的数值方法。在物理学上，即为使用有限元素分析物理现象，有限元法用于求解微分方程组或积分方程组数值解。有限元素（finite element）或有限元，就是被研究的结构域或介质域所分解成的有限数量小几何子区域。
在解偏微分方程的过程中，主要难点是如何构造一个方程来逼近原本研究的方程，并且该过程还需要保持数值稳定性。目前有许多处理的方法，他们各有利弊。当区域改变时（就像一个边界可变的固体），当需要的精确度在整个区域上变化，或者当解缺少光滑性时，有限元方法是在复杂区域（像汽车、船体结构、输油管道）上解偏微分方程的一个很好的选择。
为了解决问题，有限元素法将大型物理系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上进行特定的空间离散化来实现的，该离散化是通过构建对象的网格实现的：解决方案的数值域具有有限数量的点。边值问题的有限元素法公式化最终形成了一个代数方程组。该方法在域上近似未知函数。然后，将对这些有限元建模的简单方程式组合成一个对整个问题进行建模的较大方程式系统。然后，有限元素法通过最小化关联的误差函数，使用来自变异演算的变异方法来近似求解。

将整个物理系统细分为更简单的部分具有以下优点：
精确表示复杂的几何形状。
可以描述多样的材料特性。
轻松表示整体解决方案。
精确描述局部现象。
该方法的工作流程包括
（1）将问题的域划分为子域的集合，每个子域由一组元素方程表示为原始问题，然后（2）系统地将所有元素方程组重组为用于最终计算的全域方程组。
在上面的第一步中，元素方程是简化过的方程，可以局部地近似要研究的原始复杂方程组，其中原始方程通常是偏微分方程。为了求此方程式的近似解，通常将有限元素法作为伽辽金法的特例来处理。用数学语言来说，该过程是将残差和加权函数取内积，并将该积分设为零。简而言之，它是通过将试验函数拟合到偏微分方程中来最小化近似误差的过程。残差是由试验函数引起的误差，权重函数是投影残差的多项式逼近函数。该过程消除了偏微分方程中的所有空间导数，从而使偏微分方程局部近似为一组稳态问题的代数方程，或是一组用于瞬态问题的常微分方程。如果基础偏微分方程是线性的，则元素方程也是线性的，反之亦然。稳态问题中出现的代数方程组，便利用数值线性代数方法求解，而瞬态问题中出现的常微分方程组则使用其他数值方法（例如欧拉方法或Runge-Kutta法）通过数值积分来求解。