分数微积分

数学上，分數微積分（fractional calculus）是数学分析的一个分支，它研究微分算子



D
=


d

d
x





{\displaystyle D={\frac {d}{dx}}}

和积分算子J的实数次幂的可能应用（通常不写作I,以避免和其他I形符号产生混淆）。
在这个上下文中，幂指反复应用，和

f

2


(
x
)
=
f
(
f
(
x
)
)


{\displaystyle \,f^{2}(x)=f(f(x))}

中的平方意义相同。例如，可以提出如何解释如下符号的问题

D


=

D


1
2





{\displaystyle {\sqrt {D}}=D^{\frac {1}{2}}}

作为微分算子的平方根（半次操作），也就是一种算子操作两次以后可以有微分的效果。
更一般的，

D

n




{\displaystyle D^{n}}

对于实数值的n，使得当n为整数时，若n>0,它等同于通常的幂n次操作，当n<0,它等同于n次积分J。
讨论这个问题有几个原因。一个是，这样幂Dn组成的半群可以看作一个连续的半群中取离散值的部分。连续半群在数学上有很好的研究，有一个有趣的理论。注意，分数是个错误的记号，因为指数可以取非有理数，但是分数微积分已成为习惯用法。