黎曼猜想

黎曼猜想（英语：Riemann hypothesis，RH）由德国数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。它是数学中一个重要而又著名的未解决的问题，有「猜想界皇冠」之称，多年来它吸引了许多出色的数学家为之绞尽脑汁。其猜想为：

黎曼ζ函数，
ζ(s)=11s+12s+13s+14s+⋯。
非平凡零点（在此情况下是指s不为−2、−4、−6⋯等点的值）的实数部份是12。

黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想。黎曼ζ函数在任何复数s≠1上有定义。它在负偶数上也有零点（例如，当s=−2,s=−4,s=−6,⋯）。这些零点是「平凡零点」。黎曼猜想关心的是非平凡零点。
黎曼猜想提出：

黎曼ζ函数非平凡零点的实数部份是12
即所有的非平凡零点都应该位于直线12+it（“临界线”）上。t为一实数，而i为虚数单位。沿临界线的黎曼ζ函数有时通过Z-函数进行研究。它的实零点对应于ζ函数在临界线上的零点。
素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都很重要。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼（1826－1866）发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。
1901年Helge von Koch指出，黎曼猜想与强条件的素数定理π(x)=Li⁡(x)+O(xln⁡x)等价。现在已经验证了最初的1,500,000,000个素数对这个定理都成立。但是是否所有的解对此定理都成立，至今尚无人给出证明。
黎曼猜想之所以被认为是当代数学中一个重要的问题，主要是因为很多深入和重要的数学甚至是部分物理结果都能在它成立的大前提下得到证明。大部份数学家也相信黎曼猜想的正确性（约翰·恩瑟·李特尔伍德与阿特勒·塞尔伯格曾提出怀疑。塞尔伯格于晚年部分改变了他的怀疑立场。在1989年的一篇论文中，他猜测黎曼猜想对更广泛的一类函数也应当成立）。克雷数学研究所设立了一百万美元的奖金给予第一个得出正确证明的人。